Պարապմունք 60

1․Գրել  y=5/x ֆունկցիայի հակադարձ համեմատականության գործակիցը:
5

2․Ո՞ր քառորդներում է գտնվում y=−95/x ֆունկցիայի գրաֆիկը:

ա) 2-րդ և 3 -րդ քառորդներում
բ) 2-րդ և 4 -րդ քառորդներում
գ) 1-ին և 5 -րդ քառորդներում
դ) 1-ին և 4 -րդ քառորդներում

3․ Կառուցել y=4/x ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գրաֆիկի օգնությամբ  գտնել.
ա) y-ի արժեքը, եթե x=1
y=4
բ) x-ի արժեքը, եթե y=−2
x=-2

4․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլը:

ա) y=−3x
բ) y=4x² 
գ) y=−4/x
դ) ոչ մեկի
ե) y=(−x+1)/4

5․ Տրված է y=15/x ֆունկցիան: Գտնել y -ը, եթե x=3
y=5

6․ a-ի ո՞ր արժեքի դեպքում է (a;−1) կետը պատկանում  y=2/x  ֆունկցիայի գրաֆիկին: 
a=-2

7․ Հայտնի է, որ y=a/x հիպերբոլն անցնում է (8;7) կետով: Գտնել a-ն:
a=8×7=56
a=56

8․ Արդյո՞ք  B(9;−17) կետը պատկանում է y=153/x ֆունկցիայի գրաֆիկին:
ոչ

Պարապմունք 58

1․ Լուծել խնդիրը․

7 և 3

2․ Լուծել խնդիրները քառակուսային հավասարումների օգնությամբ։

ա) 10 և 11
բ) 15 և 14
գ) 4 և 11
դ) 28 և 16

3․ Լուծել խնդիրները․

ա) 13 և 7
բ) 3 և -5

Պարապմունք 57

1․ Լուծել քառակուսային հավասարումները ըստ Վիետի թեորեմի։

ա) x₁+x₂=6
x₁ . x₂=8
x₁=2
x₂=4

բ) x₁+x₂=2
x₁ . x₂=-15
x₁=-3
x₂=5

գ) x₁+x₂=-6
x₁ . x₂=8
x₁=-2
x₂=-4

դ) x₁+x₂=-2
x₁ . x₂=-15
x₁=-5
x₂=3

ե) x₁+x₂=-20
x₁ . x₂=51
x₁=-17
x₂=-3

զ) x₁+x₂=22
x₁ . x₂=-23
x₁=23
x₂=-1

է) x₁+x₂=20
x₁ . x₂=69
x₁=
x₂=


ը) x₁+x₂=-22
x₁ . x₂=21
x₁=-21
x₂=-1

2․ Հայտնի է, որ x²+17x+42=0 հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են: Վիետի թեորեմի միջոցով գտիր դրանք: Արմատները գրիր նվազման կարգով:
x₁+x₂=-17
x₁ . x₂=42
x₁=-3
x₂=-14

3․ Կազմիր քառակուսային հավասարում, որի արմատներն են x₁=−1;x₂=−12 թվերը, ընդ որում, a=1
-1-12=-13
-1 . -12=12
x²+13x+12=0

4․ Հայտնի է, որ բերված տեսքի քառակուսային հավասարման արմատները x₁=−8;x₂=−14 թվերն են: Ո՞րն է այդ հավասարումը:
-8-14=-22
-8 . -14=112
x²+22x+112=0

5․ x²+px+114=0 հավասարման արմատներից մեկը  x₁=6 -ն է: Գտիր երկրորդ արմատը և p գործակիցը:
x₂=114/6=19
-p=19+6=25

Պարապմունք 56

Թեմա՝ Վիետի թեորեմը։

Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:

Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:Առավել հարմար է Վիետի թեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ a=1)։

 Եթե x²+px+q=0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝ {x₁⋅x₂=q x₁+x₂=−p, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը x²+px+q=0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ հավասարումը:

x²−14x+40=0,{x₁⋅x₂=40 x₁+x₂=14 x₁=10,x₂=4

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1

Եթե ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝ 

{x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a, որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը ax²+bx+c=0 հավասարման արմատներն են:Իրոք, ընդհանուր դեպքը գալիս է բերված տեսքի դեպքին, եթե հավասարումը բաժանել a -ի վրա՝

ax²+bx+c=0∣:a a/ax²+b/ax+c/a=0⇒x²+b/ax+c/a=0 {x₁⋅x₂=c/a x₁+x₂=−b/a

Օրինակ՝  Վիետի թեորեմի օգնությամբ լուծենք հավասարումը:

12x²+x−1=0 12/12x²+1/12x−1/12=0⇒x²+1/12x−1/12=0 ⎨x₁⋅x₂=−1/12 x₁+x₂=−1/12 x₁=−1/3 x₂=1/4

Վիետի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է կազմել քառակուսային հավասարումը, եթե հայտնի են նրա արմատները:

Օրինակ՝ Ո՞ր հավասարման արմատներն են 2 և −0,3 թվերը:

x²+px+q=0 2+(−0,3)=1,7=−p 2⋅(−0,3)=−0,6=q Պատասխան՝ x²−1,7x−0,6=0 

Առաջադրանքներ։

1․Պարզել՝ հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտնել նրանց գումարը և արտադրյալը)

ա) x² − x + 1 = 0
D = b² − 4ac = 1 – 4 = -3
Արմատ չկա

բ) x² + x + 3 = 0
D = b² − 4ac = 1 – 12 = -11
Արմատ չկա

գ) x² + 3x − 2 = 0
D = b² − 4ac = 9 + 8 = 17
x₁ + x₂ = -3
x₁ · x₂ = -2

դ) x² − 3x + 2 = 0
D = b² − 4ac = 9 – 8 = 1
x₁ + x₂ = 3
x₁ · x₂ = 2

ե) x² − 2x + 1 = 0
D = b² − 4ac = 4 – 4 = 0
Միայն մեկ արմատ կա

զ) x² + 4x + 4 = 0
D = b² − 4ac = 16 – 16 = 0
Միայն մեկ արմատ կա

2․ Կազմել բերված քառակուսային հավասարում, եթե հայտնի են նրա արմատների L գումարը և K արտադրյալը

ա) L = 3, K = −28
x² – 3x – 28 = 0

բ) L = −3, K = −18
x² + 3x – 18 = 0

գ) L = −3,5, K = 2,5
x² + 3,5x + 2,5 = 0

դ) L = 5/6, K = 1/6
x² – 5/6x + 1/6 = 0

ե) L = 0, K = −9
x² – 9 = 0

զ) L = 4, K = 4
x² – 4x + 4 = 0

Պարապմունք 55

Թեմա՝ Բերված տեսքի քառակուսային հավասարումներ:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումները․

ա) x² — 6x + 8 = 0
D/4 = (-3)² — 8 = 1
x₁ = 3 + 1 = 4
x₂ = 3 — 1 = 2

բ) x² — 2x — 15 = 0
D/4 = (-1)² + 15 = 16 = 4
x₁ = 1 + 4 = 5
x₂ = 1 — 4 = -3

գ) x² + 6x + 8 = 0
D/4 = 3² — 8 = 1
x₁ = -3 + 1 = -2
x₂ = -3 — 1 = -4

դ) x² + 2x — 15 = 0
D/4 = 1² + 15 = 16 = 4
x₁ = -1 + 4 = 3
x₂ = -1 — 4 = -5

ե) x² + 20x + 51 = 0
D/4 = 10² — 51 = 39 = 7
x₁ = -10 + 7 = -3
x₂ = -10 — 7 = — 17

զ) x² — 22x — 23 = 0
D/4 = (-11)² + 23 = 144 = 12
x₁ = 11 + 12 = 23
x₂ = 11 — 12 = -1

է) x² — 20x + 69 = 0
D/4 = (-10)² — 69 = 31
x₁ = 10 + 31 = 41
x₂ = 10 — 31 = -21

ը) x² + 22x — 23 = 0
D/4 = 11² + 23 = 144 = 12
x₁ = -11 + 12 = 1
x₂ = -11 — 12 = -23

Պարապմունք 53

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։

D=b²−4ac

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա) 3x²+4x+5=0
բ) 3x²-2x+6=0
գ) x²-x+2=0
դ) -x²+3x-2=0

Պարապմունք 52

Թեմա՝ Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանդամն են անվանում քառակուսային եռանդամ։

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

2․ Ինչի՞ է հավասար քառակուսային եռանդամի տարբերիչը։

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի  տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

3․ Հետևյալ արտահայտություններից ո՞րն է հանդիսանում քառակուսային եռանդամ: Ընտրիր ճիշտ պատասխանի տարբերակը:

ա) 14x²−3x−1 բ) 4x−5 գ) x+5/2x−3

պատասխան․ ա)

Պարապմունք 50

Լուծել հավասարումները․

ա)3x-1=0

3x=1

x=1/3

բ)4x+5=4

4x=-1

x=-1/4

գ) 7-3x=1

3x=-6

x=-2

դ) -x-1=9

-x=9+1

x=-10

ե) -4+5x=4

5x=4+4

x=1,6

զ) -x=1/4

x=-1/4

x-1=4

x=4+1

x=5

3x-1=4

3x=5

x=5/3

x-2=2-x

x+x=2+2

2x=4

x=2

5x-1=3x+19

5x-3x=19+1

2x=20

x=10

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Լուծեք հավասարումները․

ա) x=9

բ) x=0

գ) Ø

դ) x=1/2

ե) x=1/2

զ) x=-1

է) x=44/3

ը) x=48/5

թ) x=7

Պարապմունք 49

Թեմա՝ Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները։

1․ Պարզեցնել արտահայտությունը․

ա) 5√2
բ) √2
գ) -4√a
դ) √x(a-3)
ե) √a
զ) -√2

2․ Համեմատել արտահայտությունների արժեքները առանց արմատը հաշվելու։

ա) >
բ) >
գ) <
դ) <
ե) <
զ) <

3․ Պարզեցնել արտահայտությունը․

ա) √3-1
բ) 5-√5
գ) √3-√2
դ) 4-√10

4․ Հայտարարում ազատվել արմատանշանից։

ա) √2+1
բ) √3+1
գ) 3-√5/2
դ) 2+√3
ե) √3-√2
զ) 4-√15

5․ Կրճատել կոտորակը․

ա) 2/2+√2
բ) 1-√3/2
գ) 1+√x

6․ Արտադրիչը տանել արմատանշանի տակ․

ա) 1/2√2
բ) — 1/3√2
գ) 1/4√5
դ) -1/10√5
ե) a√4=2a
զ) mn√5
է) 2x√6
ը) 3pq√2
թ) x²√3;
ժ) 7a³
ի)2m²n
լ) 5c²d³√2

Պարապմունք 46

Թեմա՝ y=x² ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը։

y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլն է՝

Դիտարկենք գրաֆիկից բխող պարաբոլի որոշ հատկություններ:

1. oy առանցքը հանդիսանում է y=x² պարաբոլի համաչափության առանցք: Համաչափության առանցքը պարաբոլը բաժանում է երկու մասի, որոնք անվանում են պարաբոլի ճյուղեր:
2. Համաչափության oy առանցքը պարաբոլը հատում է որոշակի կետում: Դա այն կետն է, որտեղ միանում են պարաբոլի երկու ճյուղերը: Այն անվանում են պարաբոլի գագաթ:

y=x² պարաբոլը շոշափում է x-երի առանցքը (0;0) կետում:

Եթե նույն կոորդինատային համակարգում կառուցենք  y=x² և y=−x² ֆունկցիաների գրաֆիկները, ապա կնկատենք, որ այդ պարաբոլները համաչափ են իրար x-երի առանցքի նկատմամբ: Դա լավ երևում է ներքևի նկարում:

y=kx² ֆունկցիայի հատկությունները k=1 դեպքում

Ֆունկցիայի հատկությունները նկարագրելիս հիմնվենք նրա գրաֆիկի վրա:

1. y=kx² ֆունկցիան որոշված է x -ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամբողջ (−∞;+∞) թվային առանցքն է:

2. y=0, եթե x=0 և у>0, եթե x≠0: Դա երևում է գրաֆիկից:

3. y=kx² ֆունկցիան աճում է, եթե x≥0 և նվազում է, եթե x≤0

4. Եթե x-ը անսահման տարածվում է դեպի աջ կամ դեպի ձախ (դրական կամ բացասական մնալով), ապա y=kx2 ֆունկցիայի արժեքները դրական մնալով՝ անսահման մեծանում են:

5. y=kx² ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը զրոն է՝ y_min=0, ֆունկցիան այդ արժեքը ընդունում է х=0 դեպքում: Մեծագույն արժեք ֆունկցիան չունի:  

6. y=kx² ֆունկցիան անընդհատ է, քանի որ նրա գրաֆիկը անընդհատ կոր է, որը կարելի է գծել՝ առանց մատիտը թղթից կտրելու:

7. y=kx² (k>0) ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից և սահմանափակ չէ վերևից:

8. y=kx²(k>0) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [0;+∞) ճառագայթն է:

y=kx² ֆունկցիայի հատկությունները k=-1 դեպքում

1. y=kx² ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամբողջ (−∞;+∞) թվային առանցքն է:

2. y=0, եթե x=0 և у<0, եթե x≠0:

3. y=kx² ֆունկցիան նվազում է, եթե x≥0 և աճում է, եթե x≤0

4. Եթե x-ը անսահման տարածվում է դեպի աջ կամ դեպի ձախ (դրական կամ բացասական մնալով), ապա y=kx² ֆունկցիայի արժեքները բացասական մնալով՝ անսահման մեծանում են մոդուլով:

5. y=kx² ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը զրոն է՝ y _min=0, ֆունկցիան այդ արժեքը ընդունում է х=0 դեպքում: Ֆունկցիան փոքրագույն արժեք  չունի:  

6. y=kx² ֆունկցիան անընդհատ է, նրա գրաֆիկը անընդհատ կոր է, որը կարելի է գծել՝ առանց մատիտը թղթից կտրելու:

7. y=kx² (k<0) ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից և սահմանափակ չէ ներքևից:

8. y=kx²(k<0) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը (−∞;0] ճառագայթն է:

Առաջադրանքներ։

1․Որոշել y=x² պարաբոլի ճյուղերի ուղղվածությունը:  

• Ճյուղերն ուղղված են դեպի վերև — ճիշտ պատասխան
• Ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև

2․Գտիր y=x² ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը: Ընտրելճիշտ տարբերակը:

• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ ներքևից
• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ վերևից — ճիշտ պատասխան

3. Տրված է y=−x² ֆունկցիան: Ընտրել ճիշտ պատասխանը:

ա) y_max=−1 բ) y_max=1 գ) y_max=0

4. Տրված է f(x)=−x² ֆունկցիան: Հաշվել  f(−1); f(−5); f(0); f(2); f(4)։

5. Արդյո՞ք  A(3; 8) կետը պատկանում է  y=x²  ֆունկցիայի գրաֆիկին:

ա) չի պատկանում բ) պատկանում է

6. Արդյո՞ք  A(x; y) կետը պատկանում է  y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե ա) x=1,y=2; բ) x=3, y=9 գ) x=-2; y=4, դ) x=0,4; y=1,6

7. Համեմատել թվային արտահայտությունների արժեքները՝ ա) 1,17² և 1,18² բ) 2,31² և 2․33²

8. y=x²  ֆունկցիայի հանար համեմատել y₁ և y₂ , եթե ա) x₁=0,5 x₂=0,6 բ) x₁=9,2 x₂=8,5